Question

如圖，AB、AC分別與⊙O相切，切點分別為B、C，過點C作CD∥AB，交⊙O于點D，連接BC、BD．
（1）判斷BC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）若AB=9，BC=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）BC=BD，連接OB，并反向延長交CD于點E．由切線的性質(zhì)和已知條件易證CE=ED，所以BC=BD；
（2）連接AO，與BC交于點F，AB、AC分別與⊙O相切，切點分別為B、C，所以AO⊥BC，再證明△FAB∽△BAO，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出BO的長，即圓的半徑．

解答：解：（1）BC=BD．理由如下：
連接OB，并反向延長交CD于點E．
∵AB與⊙O相切，切點為B，
∴∠EBA=90°．
∵CD∥AB，
∴∠DEB=∠EBA=90°，即BE⊥CD．
∴CE=ED．
∴BC=BD．
（2）連接AO，與BC交于點F．
∵AB、AC分別與⊙O相切，切點分別為B、C，
∴AB=AC，∠CAO=∠BAO．
∴AO⊥BC，BF=

1

2

BC=3．
∴在Rt△AFB中，AF=

AB2-BF2

=6

2

．
∵∠FAB=∠BAO，∠AFB=∠ABO=90°，
∴△FAB∽△BAO．
∴

FA

BA

=

FB

BO

，即

6 2

9

=

3

BO

．
∴BO=

9

4

2

，即⊙O的半徑是

9

4

2

．

補其他方法：
∵AB、AC分別與⊙O相切，切點分別為B、C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
∵CD∥AB，
∴∠DCB=∠ABC．
由（1）知△BDC是等腰三角形．
∴∠ABC=∠ACB=∠BCD=∠BDC．
∴△ABC∽△BDC．
∴

AB

BC

=

BC

CD

，即

9

6

=

6

CD

．
∴CD=4．
∴CE=

1

2

CD=2．
在Rt△BEC中，BE=

BC2-CE2

=4

2

．
作OF⊥BC，垂足為F．則BF=

1

2

BC=3．
∵∠OFB=∠CEB=90°，∠OBF=∠CBE，
∴△OBF∽△CBE．
∴

BF

BE

=

OB

CB

，即

3

4 2

=

OB

6

．
∴OB=

9

4

2

，即⊙O的半徑是

9

4

2

．
方法三：
∵AB、AC分別與⊙O相切，切點分別為B、C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
∵CD∥AB，
∴∠DCB=∠ABC．
由（1）知△BDC是等腰三角形．
∴∠ABC=∠ACB=∠BCD=∠BDC．
∴△ABC∽△BDC．（4分）
∴

AB

BC

=

BC

CD

，即

9

6

=

6

CD

．
∴CD=4．（5分）
∴CE=

1

2

CD=2．
在Rt△BEC中，BE=

BC2-CE2

=4

2

．
連接OC，在Rt△CEO中，EC²+OE²=OC²．
設(shè)⊙O的半徑是R，則2²+（4

2

-R）²=R²．
解這個方程，得R=

9

4

2

，即⊙O的半徑是

9

4

2

．

點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．