Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底邊DE與BC重合，兩腰分別落在AB，AC上，且G，F(xiàn)分別是AB，AC的中點。

（1）求等腰梯形DEFG的面積；
（2）操作：固定△ABC，將等腰梯形DEFG以每秒1個單位的速度沿BC方向向右運動，直到點D與點C重合時停止，設運動時間為x秒，運動后的等腰梯形為DEF′G′（如圖2）。
探究1：在運動過程中，四邊形BDG′G能否是菱形？若能，請求出此時x的值；若不能，請說明理由；
探究2：設在運動過程中△ABC與等腰梯形DEFG重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關系式。

Answer 1

解：如圖1 （1）過點G作GM⊥BC與M， ∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=，G為AB的中點， ∴GM=， 又∵G，F(xiàn)分別為AB、AC的中點， ∴， ∴， ∴等腰梯形DEFG的面積為6； （2）能為菱形； 如圖2，由BG∥DG′，GG′∥BC， ∴四邊形BDG′G是平行四邊形， 當BD=BG=AB=2時，四邊形BDG′G為菱形， 此時可求得x=2， ∴當x=2秒時，四邊形BDG′G為菱形； （3）分兩種情況： ①當時， ∵，∴， ∴重疊部分的面積為：； ∴當時，y與x的函數(shù)關系式為； ②當時，設FC與DG′交于點P， 則∠PDC=∠PCD=45°， ∴∠CPD=90°，PC=PD， 作PQ⊥DC于Q，則PQ=DQ=QC=， ∴重疊部分的面積為： 。