Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)xOy內(nèi)，函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x＞0，m是常數(shù)）的圖象經(jīng)過A（1，4），B（a，b），其中a＞1．過點(diǎn)A作x軸垂線，垂足為C，過點(diǎn)B作y軸垂線，垂足為D，連結(jié)AD，DC，CB．
（1）求m的值；
（2）求證：DC∥AB；
（3）當(dāng)AD=BC時(shí)，求直線AB的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）直接把點(diǎn)A（1，4）代入反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$，求出m的值即可；
（2）設(shè)BD，AC交于點(diǎn)E，利用銳角三角函數(shù)的定義得出tan∠EAB=tan∠ECD，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)DC∥AB，當(dāng)AD=BC時(shí)，有兩種情況：
①當(dāng)AD∥BC時(shí)，由中心對稱的性質(zhì)得出a的值，故可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB的函數(shù)表達(dá)式即可；
②當(dāng)AD與BC所在直線不平行時(shí)，由軸對稱的性質(zhì)得：BD=AC，求出a的值，故可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，
設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，分別把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法求出直線AB的函數(shù)表達(dá)式即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)$y=\frac{m}{x}$（x＞0，m是常數(shù)）圖象經(jīng)過A（1，4），
∴m=4；

（2）解法1，設(shè)BD，AC交于點(diǎn)E，
∵在Rt△AEB中，tan∠EAB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{a-1}{4-\frac{4}{a}}$=$\frac{a}{4}$；
在Rt△CED中，tan∠ECD=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{1}{\frac{4}{a}}$=$\frac{a}{4}$；
∴∠EAB=∠ECD；
∴DC∥AB．
解法2，設(shè)BD，AC交于點(diǎn)E，根據(jù)題意，可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，$\frac{4}{a}$），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，$\frac{4}{a}$），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，$\frac{4}{a}$）．
∵a＞0，AE=4-$\frac{4}{a}$，CE=$\frac{4}{a}$，EB=a-1，ED=1；
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{4-\frac{4}{a}}{\frac{4}{a}}$=a-1，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{EB}{ED}$=a-1．
又∵∠AEB=∠CED；
∴△AEB∽△CED
∴∠EAB=∠ECD；
∴DC∥AB．

（3）解法1，∵DC∥AB，
∴當(dāng)AD=BC時(shí)，有兩種情況：
①當(dāng)AD∥BC時(shí)，由中心對稱的性質(zhì)得：BE=DE，則a-1=1，得a=2．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，2）．
設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，分別把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 2=2k+b\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=6.\end{array}\right.$
∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y=-2x+6．
②當(dāng)AD與BC所在直線不平行時(shí)，由軸對稱的性質(zhì)得：BD=AC，
∴a=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，1）．
設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，分別把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，
得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 1=4k+b.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=5\end{array}\right.$
∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y=-x+5．
綜上所述，所求直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y=-2x+6或y=-x+5．
解法2，當(dāng)AD=BC時(shí)，AD²=BC²．
在Rt△AED中，AD²=AE²+DE²；  在Rt△BEC中，BC²=BE²+CE²
∴${（4-\frac{4}{a}）^2}+{1^2}={（a-1）^2}+{（\frac{4}{a}）^2}$，
整理得：a³-2a²-16a-32=0，
∴（a-2）（a+4）（a-4）=0；
∴a=2或a=-4或a=4，
∵a＞1，
∴a=2或a=4．
①當(dāng)a=2時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，2）．
設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，分別把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，
得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 2=2k+b\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=6.\end{array}\right.$
∴直線AB的函數(shù)解析式是y=-2x+6．
②當(dāng)a=4時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，1）．
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，分別把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，
得$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 1=4k+b.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ b=5\end{array}\right.$
∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y=-x+5．
綜上所述，所求直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y=-2x+6或y=-x+5．

點(diǎn)評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式等知識(shí)，難度適中．