Question

如圖，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC．求證：
（1）AM平分∠DAB；
（2）DM⊥AM．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD，垂足為E，先求出ME=MC，再求出ME=MB，從而證明AM平分∠DAB；
（2）利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠1+∠3=90°，所以兩直線垂直

解答：（1）AM平分∠DAB．
證明：過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD，垂足為E，
∵DM平分∠ADC，
∴∠1=∠2，
∵M(jìn)C⊥CD，ME⊥AD，
∴ME=MC（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），
又∵M(jìn)C=MB，
∴ME=MB，
∵M(jìn)B⊥AB，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）．

（2）DM⊥AM．
證明：∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥CB，AB⊥CB，
∴CD∥AB（垂直于同一條直線的兩條直線平行），
∴∠CDA+∠DAB=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
又∵∠1=

1

2

∠CDA，∠3=

1

2

∠DAB（角平分線定義）
∴2∠1+2∠3=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AMD=90度．即DM⊥AM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．