Question

4．如圖，已知ED為⊙O的直徑且ED=4，點(diǎn)A（不與E、D重合）為⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB經(jīng)過點(diǎn)E，且EA=EB，F(xiàn)為⊙O上一點(diǎn)，∠FEB=90°，BF的延長線交AD的延長線交于點(diǎn)C．
（1）求證：△EFB≌△ADE；
（2）當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上移動(dòng)時(shí)，直接回答四邊形FCDE的最大面積為多少．

Answer 1

分析 （1）連接FA，根據(jù)垂直的定義得到EF⊥AB，得到BF=AF，推出BF=ED，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B=∠AED，得到DE∥BC，推出四邊形形FCDE，得到E到BC的距離最大時(shí)，四邊形FCDE的面積最大，即點(diǎn)A到DE的距離最大，推出當(dāng)A為$\widehat{DE}$的中點(diǎn)時(shí)，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接FA，
∵∠FEB=90°，
∴EF⊥AB，
∵BE=AE，
∴BF=AF，
∵∠FEA=∠FEB=90°，
∴AF是⊙O的直徑，
∴AF=DE，
∴BF=ED，
在Rt△EFB與Rt△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=AE}\\{BF=DE}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFB≌Rt△ADE；
（2）∵Rt△EFB≌Rt△ADE，
∴∠B=∠AED，
∴DE∥BC，
∵ED為⊙O的直徑，
∴AC⊥AB，
∵EF⊥AB，
∴EF∥CD，
∴四邊形FCDE是平行四邊形，
∴E到BC的距離最大時(shí)，四邊形FCDE的面積最大，
即點(diǎn)A到DE的距離最大，
∴當(dāng)A為$\widehat{DE}$的中點(diǎn)時(shí)，
點(diǎn)A到DE的距離最大是2，
∴四邊形FCDE的最大面積=4×2=8．

點(diǎn)評 本題考查了圓周角定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．