Question

等腰△ABC中，a、b、c為三角形的三邊長，已知a=3，b、c是方程x²+mx+2-

1

2

m=0的兩個實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：等腰三角形ABC中a可能是底邊，也可能是腰，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．①當(dāng)a是腰時，則方程有一個根是3，代入即可求得m的值，從而求解；②當(dāng)a是底邊時，方程有兩個相等的實(shí)根，根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，從而求得其周長．

解答：解：（1）若a為底邊，則b=c，且均為一元二次方程的實(shí)數(shù)根，故一元二次方程x²+mx+2-

1

2

m=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根．
由b²-4ac=m²-4（2-

1

2

m）=0   得：m₁=2，m₂=-4
即b=c=2或b=c=-4（不合，舍去）   a=3，b=c=2能構(gòu)成三角形．
∴△ABC的周長2+2+3=7．
（2）若a為腰，則b、c中必有一邊與a相同
不妨設(shè)b=a=3，則3是方程x²+mx+2-

1

2

m=0的一根，
∴9+3m+2-

1

2

m=0∴m=-

22

5

∴原方程為x²-

22

5

x+

21

5

=0，
∴x₁=3，x₂=

7

5

∴C=

7

5

∵3+3＞

7

5

∴能構(gòu)成三角形，
∴△ABC的周長為3+3+=

7

5

=

37

5

；

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系定理．難度中等．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，將a邊進(jìn)行分類是解題的關(guān)鍵．