Question

如圖，已知等腰Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=OB=2，E、F為斜邊AB上的兩個動點（E比F更靠近A），滿足∠EOF=45°。
（1）求證：△AOF∽△BEO；
（2）求AF×BE的值；
（3）作EM⊥OA于M，F(xiàn)N⊥OB于N，求OM×ON的值；
（4）求線段EF長的最小值。（提示：必要時可以參考以下公式：當(dāng)x＞0，y＞0時， x+y=或x+）。

Answer 1

解：（1）∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠AFO=∠B+∠BOF=45°+∠BOF，
又∵∠BOE=∠EOF+∠BOF=45°+∠BOF，
∴∠AFO=∠BOE，
∴△AOF∽△BEO；
（2）∵△BOE∽△AOF，
∴，
∴；
（3）作斜邊AB上的高OD，并記OM=a，ON=b，
則易得ME=2-a，OD=，
由已知條件易得：
△MOE∽△DOF，
即OM·ON=2；
（4）EF=AB-AE-BF=
=，
所以，當(dāng)， a=b=時，EF取得最小值。