Question

已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，CG是⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)G，連接CO并延長交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD．
（1）試問：CG∥AD嗎？說明理由；
（2）證明：點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）CG∥AD，
理由如下：
∵CG是⊙O的切線，OC是⊙O的半徑，
∴CG⊥CF；
又∵CF⊥AD，
∴CG∥AD（同一平面內(nèi)，同時(shí)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）；
（2）證法一：
證明：如圖（1），連接AC，
∵CF⊥AD，AE⊥CD，且CF、AE過圓心O，，
∴AC=AD=CD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠D=60°，
∴∠FCD=30°；                  
在Rt△COE中，OE=OC，
∴OE=OB，
∴點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)；
證法二：證明：如圖（2），連接BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°；
又∠AFO=90°，
∴∠ADB=∠AFO，
∴CF∥BD，
∴△BDE∽△OCE，
∴，
∵AE⊥CD，且AE過圓心O，
∴ED=CE，
∴=1，即BE=OE，
∴點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)．