Question

把半徑為1的圓放在邊長為9、12、15的三角形內(nèi)任意移動，求在該三角形內(nèi)，這張圓形紙片不能接觸到部分的面積．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：計算題

分析：如圖，根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△ACB為直角三角形，由于⊙D、⊙E和⊙F為半徑為1的圓，且分別與△ABC的各邊相切，根據(jù)切線的性質(zhì)可得到DE∥AC，EF∥BC，DF∥AB，則△DEF∽△ABC，所以EF：DE：DF=3：4：5，設(shè)EF=3x，則DE=4x，DF=5x，所以GM=4x，NP=3x，HQ=5x，設(shè)AG=a，BP=b，根據(jù)切線長定理得AH=a，BQ=b，利用三角形三邊的長得到

a+4x+1=12 1+3x+b=9 a+5x+b=15

，解得

x=2 a=3 b=2

，然后根據(jù)扇形的面積公式和這張圓形紙片不能接觸到部分的面積=S_{四邊形AGDH}-S_扇形GDH+S_{正方形CNEM}-S_扇形MEN+S_{四邊形BPFQ}-S_扇形PFQ進行計算．

解答：解：如圖，AC=12，BC=9，AB=15，
∵9²+12²=15²，
∴BC²+AC²=AB²，
∴△ACB為直角三角形，
⊙D、⊙E和⊙F為半徑為1的圓，且分別與△ABC的各邊相切，如圖，
∴DE∥AC，EF∥BC，DF∥AB，
∴△DEF∽△ABC，
∴EF：DE：DF=9：12：15=3：4：5，
設(shè)EF=3x，則DE=4x，DF=5x，
∴GM=4x，NP=3x，HQ=5x，
設(shè)AG=a，BP=b，則AH=a，BQ=b，
∴

a+4x+1=12 1+3x+b=9 a+5x+b=15

，解得

x=2 a=3 b=2

，
∴這張圓形紙片不能接觸到部分的面積=S_{四邊形AGDH}-S_扇形GDH+S_{正方形CNEM}-S_扇形MEN+S_{四邊形BPFQ}-S_扇形PFQ
=S_{四邊形AGDH}+S_{正方形CNEM}+S_{四邊形BPFQ}-（S_扇形GDH+S_扇形MEN+S_扇形PFQ）
=S_{四邊形AGDH}+S_{正方形CNEM}+S_{四邊形BPFQ}-S_⊙D
=2×

1

2

×3×1+1×1+2×

1

2

×2×1-π•1²
=6-π．

點評：本題考查了線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理和扇形的面積公式．