Question

9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，cosA=$\frac{1}{4}$，點(diǎn)P是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，以PA為半徑作⊙P．
（1）若⊙P與AC邊的另一交點(diǎn)為點(diǎn)D，設(shè)AP=x，△PCD的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出函數(shù)的定義域；
（2）若⊙P被直線BC和直線AC截得的弦長(zhǎng)相等，求AP的長(zhǎng)；
（3）若⊙C的半徑等于1，且⊙P與⊙C的公共弦長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC，垂足為H，如圖1，利用三角函數(shù)可得AH=$\frac{1}{4}$x，根據(jù)勾股定理可得PH=$\frac{\sqrt{15}}{4}$x，根據(jù)垂徑定理可得AD=2AH=$\frac{1}{2}$x，從而可得CD=4-$\frac{1}{2}$x，即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC，垂足為G，如圖2，根據(jù)同圓中相等的弦所對(duì)的弦心距相等可得PH=PG=$\frac{\sqrt{15}}{4}$x，在Rt△PGB中，運(yùn)用三角函數(shù)即可求出AP的值；
（3）設(shè)⊙P與⊙C的公共弦EF與PC交于點(diǎn)O，如圖3，根據(jù)勾股定理可得CO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，P0=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$，從而有CP=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，然后在Rt△CHP中，運(yùn)用勾股定理即可求出x的值．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC，垂足為H，連接PC，如圖1，
則有AH=APcosA=$\frac{1}{4}$x，PH=$\sqrt{A{P}^{2}-A{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$x，
AD=2AH=$\frac{1}{2}$x，CD=AC-AD=4-$\frac{1}{2}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$CD•PH=$\frac{1}{2}$×（4-$\frac{1}{2}$x）×$\frac{\sqrt{15}}{4}$x=-$\frac{\sqrt{15}}{16}$x²+$\frac{\sqrt{15}}{2}$x（0＜x＜8）；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC，垂足為G，如圖2，
∵⊙P被直線BC和直線AC截得的弦長(zhǎng)相等，
∴PH=PG=$\frac{\sqrt{15}}{4}$x．
在Rt△ACB中，AC=AB•cosA，
∴4=$\frac{1}{4}$AB，即AB=16，
∴BP=AB-AP=16-x．
在Rt△PGB中，
∵sinB=$\frac{PG}{BP}$，sinB=cosA=$\frac{1}{4}$，PG=$\frac{\sqrt{15}}{4}$x，BP=16-x，
∴$\frac{\sqrt{15}}{4}$x=$\frac{1}{4}$（16-x），
解得：x=$\frac{8\sqrt{15}-8}{7}$，
∴AP=$\frac{8\sqrt{15}-8}{7}$；

（3）設(shè)⊙P與⊙C的公共弦EF與PC交于點(diǎn)O，如圖3，
則有EF=$\sqrt{2}$，EO=OF=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PC⊥EF，CE=CF=1，PE=PF=x，
∴CO=$\sqrt{C{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，P0=$\sqrt{P{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$，
∴CP=OP+CO=$\sqrt{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△CHP中，
∵CH²+PH²=PC²，
∴（4-$\frac{1}{4}$x）²+（$\frac{\sqrt{15}}{4}$x）²=（$\sqrt{{x}^{2}-\frac{1}{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
整理得16-2x=$\sqrt{2{x}^{2}-1}$，
∴（16-2x）²=2x²-1，
整理得2x²-64x+257=0，
解得：x₁=$\frac{32-\sqrt{510}}{2}$，x₂=$\frac{32+\sqrt{510}}{2}$．
∵點(diǎn)P是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，
∴AP=x≤16，
∴AP=$\frac{32-\sqrt{510}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了垂徑定理、相交兩圓的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、同圓或同圓中弦與弦心距之間的關(guān)系等知識(shí)，要求一個(gè)未知數(shù)的值，通�？蛇\(yùn)用相似三角形的性質(zhì)、勾股定理或三角函數(shù)建立方程，然后解這個(gè)方程就可解決問(wèn)題．