Question

11．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，連接AO并延長交BC于點D
（1）求證：BD=CD；
（2）如圖，點P為弧AB上一點，連接BP、CP，作AH⊥PC于點H，求證：CH=BP+PH．
（3）如圖，在（2）的條件下，連接PO，若∠AOP=90°+∠BAD，作PT⊥AB于點T，若PB=3，AB=4$\sqrt{13}$，求AT的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理的推論即即可證明；
（2）如圖2中，在CH上取一點E使得HP=HE，連接AP、AE，設(shè)PC與AD交于點G．只要證明△PAB≌△EAC，推出PB=EC即可解決問題；
（3）如圖3中，作PM⊥CB交CB的延長線于M，OP的延長線交AC于K．設(shè)PH=a，CH=b．首先證明PA=PC=a+b，利用勾股定理列出方程組求出a、b，由△PAH∽△BAD，可得$\frac{PA}{AB}$=$\frac{PH}{BD}$，TC BD=$\frac{20\sqrt{13}}{13}$，BC=$\frac{40\sqrt{13}}{13}$由△PAT≌△PCM，可得AT=CM．BM=TB，TC AB+BC=AT+TB+CM-BM=2AT，由此即可解決問題；

解答 （1）證明：如圖1中，

∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴OA⊥BC，即AD⊥BC，
∴BD=CD．

（2）證明：如圖2中，在CH上取一點E使得HP=HE，連接AP、AE，設(shè)PC與AD交于點G．

∵AH⊥PE，PH=HE，
∴AP=AE，
∴∠PAH=∠EAH，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠PAH+∠APH=90°，∠ABD+∠BAD=90°，∠APH=∠ABD，
∴∠PAH=∠BAD，
∴∠EAH=∠CAD，
∴∠HAG=∠CAE，
∵∠AHG=∠CDG=90°，∠AGH=∠CGD，
∴∠HAG=∠DCG=∠PAB，
∴∠PAB=∠CAE，∵AP=AE，AB=AC，
∴△PAB≌△EAC，
∴PB=EC，
∴CH=CE+EH=PB+PH．

（3）解：如圖3中，作PM⊥CB交CB的延長線于M，OP的延長線交AC于K．設(shè)PH=a，CH=b．

∵PB=3，
∴b=a+3    ①，
∵∠AOP=90°+∠BAD，∠NBD=∠ADB+∠BAD=90°+∠BAD，
∴∠AOP=∠NBD，
∴∠POD=∠ABD=∠ACB，
∵∠POD+∠DOK=180°，
∴∠DOK+∠DCK=180°，
∴∠ODC+∠OKC=180°，∵∠ODC=90°，
∴∠OKC=90°，即PO⊥AC，
∴KA=KC，PA=PC=a+b，
∵AH⊥PC，
∴AH²=PA²-PH²=AC²-HC²，
∴（a+b）²-a²=（4$\sqrt{13}$）²-b²     ②，
由①②可得a=5，b=8，
由△PAH∽△BAD，可得$\frac{PA}{AB}$=$\frac{PH}{BD}$，
∴BD=$\frac{20\sqrt{13}}{13}$，BC=$\frac{40\sqrt{13}}{13}$
由△PAT≌△PCM，可得AT=CM．BM=TB，
∴AB+BC=$\frac{AT}{\;}$AT+TB+CM-BM=2AT=4$\sqrt{13}$+$\frac{40\sqrt{13}}{13}$，
∴AT=$\frac{46\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題考查圓綜合題、垂徑定理以及推論、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、二元二次方程組等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用構(gòu)建方程組的思想思考問題，屬于中考壓軸題．