Question

13．如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點E，連結(jié)EC，若AB=4，CD=1，則EC的長為$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 首先連接BE，由⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，AB=4，CD=1，根據(jù)垂徑定理可求得AC=BC=2，然后設(shè)OA=x，利用勾股定理可得方程：2²+（x-1）²=x²，則可求得半徑的長，繼而利用三角形中位線的性質(zhì)，求得BE的長，又由AE是直徑，可得∠B=90°，繼而求得答案．

解答 解：連接BE，
∵⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，AB=2，
∴AC=BC=2，
設(shè)OA=x，
∵CD=1，
∴OC=x-1，
在Rt△AOC中，AC²+OC²=OA²，
∴2²+（x-1）²=x²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴OA=OE=$\frac{5}{2}$，OC=$\frac{3}{2}$，
∴BE=2OC=3，
∵AE是直徑，
∴∠B=90°，
∴CE=$\sqrt{{BC}^{2}{+BE}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
故答案為：$\sqrt{13}$．

點評 此題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．