Question

如圖，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠A+∠D=90°，tanA=2，過點(diǎn)B作BH⊥AD于H，BC=BH=2，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿DH運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)F作EF⊥AD交折線D→C→B于點(diǎn)E，將紙片沿直線EF折疊，點(diǎn)C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C₁、D₁，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是x秒（x＞0）．
（1）當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的值為

4

秒；
（2）當(dāng)△BCD₁是等腰三角形時(shí)，此刻x為

2，2.5或3

秒．

Answer 1

分析：（1）過C作GC∥AB交AD于G，通過勾股定理就可以求出AH=1，AB=

5

，再得出四邊形ABCG是平行四邊求出DH，過C作CM⊥AD交AD于M，求出DM的值即可；
（2）分三種情況討論，如圖1，當(dāng)BC=CD₁=2時(shí)可以求出x的值，如圖2，當(dāng)BD₁=CD₁時(shí)，作D₁G⊥BC于G，可以求出x的值，如圖3，當(dāng)BC=BD₁時(shí)，可以求出x的值，從而綜合得出結(jié)論．

解答：解：（1）過C作GC∥AB交AD于G，
∴∠CGD=∠A，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠CGD+∠D=90°，
∴∠DCG=90°．
在Rt△AHB中，tanA=2，BH=2，
∴AH=1，AB=

5

，
∵BC∥AD，CG∥AB，
∴四邊形ABCG是平行四邊形，
∴AG=BC=2，CG=AB=

5

，
∴CD=2

5

，GD=5，
∴DH=6．
過C作CM⊥AD交AD于M，
∴DM=4，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)x=4．
故答案是：4；

（2）如圖1，當(dāng)BC=CD₁=2時(shí)，DD₁=4，
∴DF=2，
∴x=2；
如圖2，當(dāng)BD₁=CD₁時(shí)，作D₁G⊥BC于G，
∴CG=

1

2

BC=1，
∴D₁D=5，
∴DF=2.5，
∴x=2.5；
如圖3，當(dāng)BC=BD₁時(shí)，DD₁=6，
∴DF=3，
∴x=3；
∴x=2，2.5，3時(shí)，△BCD₁是等腰三角形．
故答案是：2，2.5或3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用．解答（2）題時(shí)，要分類討論，以防漏解．