Question

將矩形ABCD折疊，使得對角線的兩個端點A，C重合，折痕所在直線交直線AB與點E，若AB=4，BE=1，則tan∠CAB的值是

2

2

或

6

2

．

Answer 1

分析：分類討論：當(dāng)點E在AB上時，連結(jié)EC，根據(jù)折疊性質(zhì)得EC=EA=3，再根據(jù)勾股定理可計算出BC，然后正切的定義可計算出tan∠CAB的值；當(dāng)點E在AB上時，連結(jié)EC，根據(jù)折疊性質(zhì)得EC=EA=5，再根據(jù)勾股定理可計算出BC，然后正切的定義可計算出tan∠CAB的值．

解答：解：當(dāng)點E在AB上時，連結(jié)EC，如圖1，
AB=4，BE=1，則AE=AB-BE=3，
∵矩形ABCD折疊，使得對角線的兩個端點A，C重合，折痕所在直線交直線AB與點E，
∴EC=EA=3，
在Rt△BEC中，BC=

EC2-BE2

=2

2

，
在Rt△ABC中，tan∠CAB=

BC

AB

=

2 2

4

=

2

2

；
當(dāng)點E在AB上時，連結(jié)EC，如圖2，
AB=4，BE=1，則AE=AB+BE=5，
∵矩形ABCD折疊，使得對角線的兩個端點A，C重合，折痕所在直線交直線AB與點E，
∴EC=EA=5，
在Rt△BEC中，BC=

EC2-BE2

=2

6

，
在Rt△ABC中，tan∠CAB=

BC

AB

=

2 6

4

=

6

2

；
∴tan∠CAB的值為

2

2

或

6

2

．
故答案為

2

2

或

6

2

．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了勾股定理、銳角三角函數(shù)以及分類討論思想的運用．