Question

如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=4，把△BCD沿對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點G；E、F分別是C′D和BD上的點，線段EF交AD于點H，把△FDE沿EF折疊，使點D落在D′處，點D′恰好與點A重合，則EF=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)翻折變換的性質可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出△ABG≌△C′DG；由可知GD=GB，故AG+GB=AD，設AG=x，則GB=4-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的長，進而得出tan∠ABG的值；由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=2，再根據(jù)tan∠ABG即可得出EH的長，同理可得HF是△ABD的中位線，故可得出HF的長，由EF=EH+HF即可得出結論．
解答：解：∵△BDC′由△BDC翻折而成，
∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，
∴∠ABG=∠ADE，
∵在△ABG與△C′DG中，
，
∴△ABG≌△C′DG（ASA）；
∴GD=GB，
∴AG+GB=AD，設AG=x，則GB=4-x，
在Rt△ABG中，
∵AB²+AG²=BG²，即3²+x²=（4-x）²，
解得：x=，
∴tan∠ABG===；
∵△AEF是△DEF翻折而成，
∴EF垂直平分AD，
∴HD=AD=2，
∴tan∠ABG=tan∠ADE=，
∴EH=HD×=2×=，
∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，
∴HF是△ABD的中位線，
∴HF=AB=×3=，
∴EF=EH+HF=+=．
故答案為：．
點評：本題考查的是翻折變換、全等三角形的判定與性質、矩形的性質及解直角三角形，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解答此題的關鍵．