Question

如圖，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P為BC邊的中點(diǎn)，PD⊥AC．求證：CD=3AD．

Answer 1

考點(diǎn)：含30度角的直角三角形

專題：證明題

分析：連接AP，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AP⊥BC，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠C=30°，再求出∠APD=∠C=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AP=2AD，AC=2AP，整理即可得證．

解答：證明：如圖，連接AP，
∵AB=AC，P為BC邊的中點(diǎn)，
∴AP⊥BC，
∵∠BAC=120°，
∴∠C=

1

2

（180°-∠BAC）=

1

2

（180°-120°）=30°，
∵PD⊥AC，
∴∠CPD+∠C=90°，
又∵∠APD+∠CPD=90°，
∴∠APD=∠C=30°，
∴AP=2AD，AC=2AP，
∴AC=4AD，
∴CD=AC-AD=4AD-AD=3AD，
即CD=3AD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．