Question

已知拋物線y=

1

2

x²+bx+c經(jīng)過x軸上點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求a、b的值；
（2）試判斷△BOC的外接圓P與直線AC的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）將△AOC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中，AC對(duì)應(yīng)的直線平行于BC，試求旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線，然后解關(guān)于b、c的二元一次方程組即可；
（2）利用拋物線解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而判斷出△BOC是等腰直角三角形，然后得到BC是△BOC外接圓的直徑，再利用銳角的正切值求出∠ACO＜45°，從而求出直線AC與⊙P相交；
（3）設(shè)△AOC旋轉(zhuǎn)得到△A′OC′，A′C′交x軸于E，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠A′EO=∠OBC=45°，過點(diǎn)O作OD⊥A′C′于D，可得△ODE是等腰直角三角形，利用勾股定理列式求出AC的長，再根據(jù)三角形的面積列式求出OD，從而求出DE、OE，利用∠A′的余弦值求出A′D，然后求出A′E的長，過點(diǎn)A′作AF⊥x軸于F，判斷出△A′EF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出A′F、EF，再求出OF，然后寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)即可；當(dāng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到第四象限時(shí)與點(diǎn)A′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x²+bx+c經(jīng)過A（-2，0），B（4，0），
∴

1 2 ×4-2b+c=0 1 2 ×16+4b+c=0

，
解得

b=-1 c=-4

；

（2）直線AC與⊙P相交．
理由如下：由（1）可知，拋物線的解析式為y=

1

2

x²-bx-4，
令x=0，則y=-4，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4），
∵A（-2，0），B（4，0），
∴OA=2，OB=OB=4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
BC是△BOC的外接圓P的直徑，
∵tan∠ACO=

OA

OC

=

2

4

=

1

2

，
∴∠ACO＜45°，
∴∠ACB＜90°，
∵點(diǎn)C在⊙P上，
∴直線AC與⊙P相交；

（3）如圖，設(shè)△AOC旋轉(zhuǎn)得到△A′OC′，A′C′交x軸于E，
∵A′C′∥BC，
∴∠A′EO=∠OBC=45°，
過點(diǎn)O作OD⊥A′C′于D，則△ODE是等腰直角三角形，
根據(jù)勾股定理，AC=

22+42

=2

5

，
S_△AOC=

1

2

×2

5

•OD=

1

2

×2×4，
解得OD=

4 5

5

，
∴DE=OD=

4 5

5

，
OE=

2

×

4 5

5

=

4 10

5

，
又∵tcos∠A′=

A′D

A′O

=

A′O

A′C′

，
即

A′D

2

=

2

2 5

，
解得A′D=

2 5

5

，
∴A′E=A′D+DE=

2 5

5

+

4 5

5

=

6 5

5

，
過點(diǎn)A′作AF⊥x軸于F，
∵∠A′EO=45°，
∴△A′EF是等腰直角三角形，
∴A′F=EF=

2

2

×

6 5

5

=

3 10

5

，
∴OF=OE-EF=

4 10

5

-

3 10

5

=

10

5

，
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-

10

5

，

3 10

5

），
當(dāng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到第四象限時(shí)，與A′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

10

5

，-

3 10

5

），
綜上所述，旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-

10

5

，

3 10

5

）或（

10

5

，-

3 10

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系的判定，旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小的性質(zhì)，（3）難度較大，作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．