Question

10．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于D，連接OD交BC于H．

（1）求證：OD⊥BC；
（2）若OH=DH，求∠BAC的度數(shù)；
（3）若AB=6，AC=4，過(guò)B作BK⊥AD于K，連接HK，求HK的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，證明$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，運(yùn)用垂徑定理及其推論，即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2，首先求出∠BOH的度數(shù)，運(yùn)用圓周角定理即可解決問(wèn)題．
（3）如圖3，作輔助線，首先證明△BAK≌△MAK，得到BK=MK，進(jìn)而判斷HK為△BCM的中位線，即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖1，
∵AD平分∠BAC，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴OD⊥BC；
（2）如圖2，連接OB、OC；
∵OH=DH，OB=OD，
∴OH=$\frac{1}{2}$OB，而OH⊥BH，
∴∠OBH=30°，∠BOH=60°
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°．
（3）如圖3，分別延長(zhǎng)BK、AC，交于點(diǎn)M；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAK=∠MAK；
在△BAK與△MAK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AM}\\{∠BAK=∠MAK}\\{AK=AK}\end{array}\right.$，
∴△BAK≌△MAK（SAS），
∴BK=MK，AM=AB=6；
∵OD⊥BC，
∴BH=HC，
∴HK為△BCM的中位線，
∴HK=$\frac{1}{2}$CM=$\frac{1}{2}$（6-4）=1．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓周角定理、垂徑定理、全等三角形的判定等知識(shí)．該題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．