Question

7．如圖．矩形OAPB的頂點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象上，點(diǎn)E、F分別是矩形的邊PA，PB上的動點(diǎn)，直線EF分別交y軸、x軸于C，D兩點(diǎn)．現(xiàn)給出如下命題：①若點(diǎn)E、F恰同在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（k＞m＞0）的圖象上，則S_{四邊形OEPF}=k-m；②△ACE≌△BFD；③若OC=OD=$\sqrt{2k}$，則△OCF∽△EOF；④CE+DF=EF．其中結(jié)論正確的是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 作EH⊥OB于H，F(xiàn)G⊥OA于G，如圖，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可設(shè)P（a，$\frac{k}{a}$），則E的縱坐標(biāo)為$\frac{k}{a}$，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，得出E（a，$\frac{m}{a}$），F(xiàn)（$\frac{am}{k}$，$\frac{k}{a}$），根據(jù)S_{四邊形OEPF}=S_矩形-S_△AOE-S_△BOF=k-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$m=k-m；故①正確；證明△ACE∽△GCF得到 $\frac{CE}{CF}$=$\frac{AE}{GF}$=$\frac{m}{k}$，根據(jù)比例的性質(zhì)得$\frac{CE}{EF}$=$\frac{m}{k-m}$，再證明△DBF∽△DHE得到$\frac{DF}{DE}$=$\frac{BF}{EH}$=$\frac{m}{k}$，根據(jù)比例的性質(zhì)得$\frac{DF}{EF}$=$\frac{m}{k-m}$，即可得到CE=DF，然后根據(jù)ASA即可證得△ACE≌△BFD；故②正確；根據(jù)OC=OD=$\sqrt{2k}$，得出∠OCD=∠ODC=45°，AC=AE，BF=BD，OA=OB，則P（a，a），進(jìn)而得出k=a²，OC=OD=$\sqrt{2}$a，進(jìn)一步得出AC=AE=BF=BD=（$\sqrt{2}$-1）a，然后根據(jù)tan∠AOE=$\frac{AE}{OA}$=$\sqrt{2}$-1，求得∠AOE=22.5°，從而求得∠EOF=45°，然后根據(jù)∠OCF=∠EOF=45°，∠OFC=∠EFO，即可證得△OCF∽△EOF；故③正確；要使CE+DF=EF，則必須2CE=EF，根據(jù)△ACE∽△PFE，則必須$\frac{AE}{PE}$=$\frac{CE}{EF}$=$\frac{1}{2}$，因?yàn)镋是動點(diǎn)，$\frac{AE}{PE}$不是定值，故④錯誤．

解答 解：作EH⊥OB于H，F(xiàn)G⊥OA于G，如圖，
設(shè)P（a，$\frac{k}{a}$），則E的縱坐標(biāo)為$\frac{k}{a}$，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，
∵E、F點(diǎn)在反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象上，
∴E（a，$\frac{m}{a}$），F(xiàn)（$\frac{am}{k}$，$\frac{k}{a}$），
∴S_{四邊形OEPF}=S_矩形-S_△AOE-S_△BOF=k-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$m=k-m；故①正確；
∵AE∥GF，
∴△ACE∽△GCF，
∴$\frac{CE}{CF}$=$\frac{AE}{GF}$=$\frac{\frac{am}{k}}{a}$=$\frac{m}{k}$，
∴$\frac{CE}{EF}$=$\frac{m}{k-m}$①，
∵BF∥EH，
∴△DBF∽△DHE，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{BF}{EH}$=$\frac{\frac{m}{a}}{\frac{k}{a}}$=$\frac{m}{k}$，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{m}{k-m}$②，
由①②得 $\frac{CE}{EF}$=$\frac{DF}{EF}$，
∴CE=DF，
∵PA∥OD，PB∥OC，
∴∠AEC=∠D，∠C=∠BFD，
在△AEC和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BFD}\\{CE=DF}\\{∠AEC=∠D}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BDF（ASA）；故②正確；
∵OC=OD=$\sqrt{2k}$，
∴∠OCD=∠ODC=45°，
∴AC=AE，BF=BD，
∴OA=OB，
∴P（a，a），
∴k=a²，
∴OC=OD=$\sqrt{2}$a，
∴AC=AE=BF=BD=（$\sqrt{2}$-1）a，
∴tan∠AOE=$\frac{AE}{OA}$=$\sqrt{2}$-1，
∴∠AOE=22.5°，
同理：∠FOB=22.5°，
∴∠EOF=45°，
∵∠OCF=∠EOF=45°，∠OFC=∠EFO，
∴△OCF∽△EOF；故③正確；
∵CE=DF，
要使CE+DF=EF，則必須2CE=EF，
∵PB∥OC，
∴△ACE∽△PFE，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{CE}{EF}$=$\frac{1}{2}$，
∵點(diǎn)E、F分別是矩形的邊PA，PB上的動點(diǎn)，
∴$\frac{AE}{PE}$不是定值，故④錯誤；
故選A．

點(diǎn)評 本題是四邊形的綜合題，考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，用k表示出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式求解是解答此題的關(guān)鍵．