Question

如圖，正方形ABCD的邊長為6，以D為圓心、DA為半徑作⊙D，E在AB上，AE=2，EF切⊙D于G，交BC于F，
（1）求證：BF=CF；
（2）求tan∠CBG的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用切線長定理得出AE=EG=2，F(xiàn)C=FG，進(jìn)而利用勾股定理得出FC的長，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，再得出△FGH∽△FEB，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出BH，HF的長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．

解答：（1）證明：∵EF切⊙D于G，以D為圓心、DA為半徑作⊙D，
∴AE=EG=2，F(xiàn)C=FG，
不妨設(shè)FC=FG=x，
在△BEF中，
（2+x）²=4²+（6-x）²
解得：x=3，
即FC=3，
故BF=6-3=3
即BF=FC；

（2）解：過G作GH⊥BF于H，
由（1）得：
∵BE=6-2=4，BF=3，
∴EF=5，
∵∠FBE=∠GHF，∠HFG=∠BFE，
∴△FGH∽△FEB，
∴

GH

BE

=

FG

EF

=

HF

BF

，
∴GH=

4×3

5

=

12

5

，HF=

9

5

∴BH=

6

5

，
∴tan∠CBG=

GH

BH

=

12 5

6 5

=2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，得出△FGH∽△FEB求出BH，HF的長是解題關(guān)鍵．