Question

如圖，平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+3x+4與x軸交于點A、B（A在左側），與y軸交于點C，拋物線的頂點為點M，對稱軸與線段BC交于點N，點P為線段BC上一個動點（與B、C不重合）．
（1）求點A、B的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點D，使|DC-DB|的值最大，求點D的坐標；
（3）過點P作PQ∥y軸與拋物線交于點Q，連接QM，當四邊形PQMN滿足有一組對邊相等時，求P點的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=-x²+3x+4與x軸交于點A、B（A在左側），
∴拋物線與x軸的交點坐標為：0=-x²+3x+4，
解得：x₁=-1，x₂=4，
A（-1，0）、B（4，0）；

（2）連接AC并延長交拋物線的對稱軸于D，
將A（-1，0），C（0，4）點的坐標代入：Y=kx+b，

解得：b=4，k=4，
求出直線AC解析式：y=4x+4，
將x=1.5，代入y=4x+4得，
y=10，
∴D點坐標（1.5，10）

（3）設P（x，-x+4），Q（x，-x²+3x+4），
①四邊形PQMN是平行四邊形，此時PQ=MN，
由題意得，=（-x²+3x+4）-（-x+4）
解得：x=2.5，x=1.5（舍去）
此時P（2.5，1.5），
②四邊形PQMN是等腰梯形，此時PN=QM進一步得MG=NH（QG、PH是所添的垂線段），
從而得方+x²-3x-4=-x+4-，
解得x=0.5，x=1.5（舍去），
此時P（0.5，3.5），
綜合上述兩種情況可知：當四邊形PQMN滿足有一組對邊相等時，
P點的坐標為（2.5，1.5）或（0.5，3.5）．
分析：（1）根據二次函數與圖象的交點坐標求法，y=0，求出x即可；
（2）利用軸對稱圖形的性質可以得出D點坐標的位置，利用D點在直線AC解析式上，即可求出；
（3）利用平行四邊形的性質以及等腰梯形性質分別求出即可．
點評：此題主要考查了二次函數與一次函數的綜合應用以及平行四邊形與梯形的性質等知識，二次函數的綜合應用是初中階段的難點問題，同學們在解答的過程中特別注意解題的技巧性從而降低計算量．