Question

已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D是BC的中點，過D作⊙O的切線交AC于E，DE=4，CE=2．

 
（1）如圖1，求證：①DE⊥AC；②求⊙O的半徑；
（2）如圖2，若I是△ABD的內(nèi)心，DI的延長線交⊙O于N，求IN的長度．

Answer 1

（1）①證明：如圖1，連接AD．
∵點D為的中點，
∴∠1=∠2．
∵∠2=∠3，
∴∠1+∠2=∠3，即∠CAB=∠3，
∴AE∥OD．
又∵DE是⊙O的切線，OD是半徑，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
②解：∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．
由①知，DE⊥AC，
∴∠E=90°．
∵DE=4，CE=2，
∴根據(jù)勾股定理求得CD==2．
∵點D為的中點，
∴BD=CD=2．
∵DE是⊙O的切線，
∴∠EDC=∠1．
∴利用①中的∠1=∠2得到∠EDC=∠2，
∴∠EDC=∠2，
∴sin∠EDC=sin∠2，即=，
∴=，則AB=10，
故⊙O的半徑為5；

（2）解：如圖2，連接AN、BN，AI．
∵I是△ABD的內(nèi)心，
∴∠1=∠4，∠5=∠6．
∴=，
∴AN=BN，∠1=∠2．
∴∠2=∠4．
∵AB是直徑，且AB=10，
∴∠ANB=90°，
∴AN=BN=5．
∵∠3=∠4+∠5=∠2+∠6，即∠AIN=∠IAN，
∴IN=AN=5．
分析：（1）①如圖1，連接AD．由點D為的中點，根據(jù)圓周角定理得到∠1=∠2，而∠2=∠3，則∠CAB=∠1+∠2=∠3，于是有AE∥OD，有DE⊥OD，即可得到結(jié)論；
②如圖1，連接CD、BD．由旋切角定理得到∠EDC=∠1．利用①中的∠1=∠2得到∠EDC=∠2；則由正弦三角函數(shù)的定義求得AB的長度；
（2）如圖2，連接AN、BN，AI．由三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到∠1=∠4，∠5=∠6．由圓周角、弧、弦間的關(guān)系易求AN=BN=5，然后由圓周角定理、三角形外角定理證得
AN=IN=5．
點評：本題考查的是圓周角定理、等腰直角三角形、圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰三角形是解答（2）題的關(guān)鍵．