Question

17．如圖：已知直線y₁=-2x+3和直線y₂=mx-1分別交y軸于點(diǎn)A、B，兩直線交于點(diǎn)C（1，n）．
（1）求m、n的值；           
（2）在x軸上求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使△PAC的周長最��；
（3）求點(diǎn)A到直線y₂=mx-1的距離．

Answer 1

分析 （1）先利用直線y₁求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再利用直線y₂求出m的值．
（2）點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（0，-3），求出直線A′C與x軸的交點(diǎn)即可解決問題．
（3）求出AB、BC利用面積法即可解決．

解答 解：（1）∵點(diǎn)C（1，n）在直線y₁=-2x+3上，
∴n=-2+3=1，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（1，1）代入直線y₂=mx-1得m=2，
∴m=2，n=1．
（2）∵點(diǎn)A坐標(biāo)（0，3），點(diǎn)C坐標(biāo)（1，1），
點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（0，-3），
設(shè)直線A′C為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
∴直線A′C為y=4x-3，
直線A′C與x軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，此時(shí)△ACP周長最小，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（$\frac{3}{4}$，0）．
（3）∵A（0，3），B（0，-1），C（1，1），設(shè)點(diǎn)A到直線線y₂=mx-1的距離為h，
∴AB=4，BC=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{2}$×4×1=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×h，
∴h=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴點(diǎn)A到直線y₂=mx-1的距離為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱-最短問題、一次函數(shù)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱正確找到點(diǎn)P的位置，利用一次函數(shù)解決點(diǎn)P坐標(biāo)，屬于中考常考題型．