Question

菱形與正方形的形狀有差異，我們將菱形與正方形的接近程度記為“接近度”．設(shè)菱形相鄰的兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為m°和n°，將菱形與正方形的“接近度”定義為|m-n|．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c（b＜0）交y軸于點(diǎn)A（與原點(diǎn)O不同），以AO為邊作菱形OAPQ．

（1）當(dāng)c=-b時，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使菱形OAPQ與正方形的“接近度”為0，請說明理由．

（2）當(dāng)c＞0時，對于任意的b，拋物線y=x2+bx+c上是否存在點(diǎn)P，滿足菱形OAPQ與正方形的“接近度”為60？若存在，請求出所有滿足條件的b與c的關(guān)系式；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）理由見解析；（2）b=-c．

【解析】

試題分析：（1）表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)正方形的四條邊都相等且每一個角都是直角取點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行驗(yàn)證即可；

（2）根據(jù)“接近度”的定義求出m、n的值，然后分點(diǎn)P在y軸右側(cè)時，∠OAP=120°和∠OAP=60°兩種情況求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式求出b、c的關(guān)系式，然后根據(jù)b＜0求出c的取值范圍，進(jìn)行驗(yàn)證即可；點(diǎn)P在y軸左側(cè)時，只有∠OAP=120°，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式得到b、c的關(guān)系式，然后根據(jù)b＜0求出c的取值范圍，再進(jìn)行驗(yàn)證．

試題解析：（1）存在．

當(dāng)c=-b時，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-b），

取P（-b，-b），

當(dāng)x=-b時，y=（-b）2+b×（-b）-b=-b，

故點(diǎn)P在拋物線上，且OA=AP，OA⊥P，

∴m=n=90，

∴拋物線上存在點(diǎn)P，使菱形OAPQ與正方形的“接近度”為0；

（2）【解析】
∵菱形OAPQ與正方形的“接近度”為60，

∴|m-n|=60，

又∵m+n=180，

∴m=120，n=60或m=60，n=120，

當(dāng)P在y軸右側(cè)時：①當(dāng)∠OAP=120°時，P1（c，c）且在y=x2+bx+c上，

∴（c）2+b×c+c=c，

∴b=-c，

∵b＜0，

∴-c＜0，

解得c＞，

即當(dāng)c＞時，b與c的關(guān)系式為b=-c；

②當(dāng)∠OAP=60°時，P2（c，c），且在y=x2+bx+c上，

∴（c）2+b×c+c=c，

∴b=--c，

∵b＜0，

∴--c＜0，

解得c＞-，

舉例：當(dāng)b=-時，c=-＜0，不滿足對任意b，c＞0，不符合題意；

當(dāng)P在y軸左側(cè)時：只可能存在∠OAP=120°，P3（-c，c）且在y=x2+bx+c上，

∴（-c）2+b×（-c）+c=c，

∴b=c-，

∵b＜0，

∴c-＜0，

解得c＜，

舉例：當(dāng)b=-1時，c=-，不滿足對任意b，c＞0，不符合題意；

綜上所述，b與c的關(guān)系式為b=-c．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．