Question

如圖，拋物線y=x²-bx-5與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點C與點F關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AF交y軸于點E，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線AF的解析式；
（3）在直線AF上是否存在點P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=x²-bx-5，
∴|OC|=5，
∵|OC|：|OA|=5：1，
∴|OA|=1，
即A（-1，0），
把A（-1，0）代入y=x²-bx-5得
（-1）²+b-5=0，
解得b=4，
拋物線的解析式為y=x²-4x-5；

（2）∵點C與點F關(guān)于對稱軸對稱，C（0，-5），設(shè)F（x₀，-5），
∴x₀²-4x₀-5=-5，
解得x₀=0（舍去），或x₀=4，
∴F（4，-5），
∴對稱軸為x=2，
設(shè)直線AF的解析式為y=kx+b，
把F（4，-5），A（-1，0），代入y=kx+b，
得，
解得，
所以，直線FA的解析式為y=-x-1；

（3）存在．…
理由如下：①當(dāng)∠FCP=90°時，點P與點E重合，
∵點E是直線y=-x-1與y軸的交點，
∴E（0，-1），
∴P（0，-1），
②當(dāng)CF是斜邊時，過點C作CP⊥AF于點P（x₁，-x₁-1），
∵∠ECF=90°，E（0，-1），C（0，-5），F(xiàn)（4，-5），
∴CE=CF，
∴EP=PF，
∴CP=PF，
∴點P在拋物線的對稱軸上，
∴x₁=2，
把x₁=2代入y=-x-1，得
y=-3，
∴P（2，-3），
綜上所述，直線AF上存在點P（0，-1）或（2，-3）使△CFP是直角三角形．
分析：（1）根據(jù)拋物線解析式求出OC的長度，再根據(jù)比例求出OA的長度，從而得到點A的坐標(biāo)，然后把點A的坐標(biāo)代入拋物線解析式計算求出b，即可得到拋物線解析式；
（2）根據(jù)點C、F關(guān)于對稱軸對稱可得點F的縱坐標(biāo)與點C的縱坐標(biāo)相等，設(shè)出點F的坐標(biāo)為（x₀，-5），代入拋物線求出點F的橫坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線函數(shù)解析式求解即可；
（3）分①點P與點E重合時，△CFP是直角三角形，②CF是斜邊時，過C作CP⊥AF于點P，然后根據(jù)點C、E、F的坐標(biāo)求出PC=PF，從而求出點P在拋物線對稱軸上，再根據(jù)拋物線的對稱軸求解即可．
點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點的求解，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對稱性，以及到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上的性質(zhì)，（3）中要注意分CF是直角邊與斜邊兩種情況討論求解．