Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，點E從點A出發(fā)沿AB以每秒1cm的速度向點B運動，同時點D從點C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點A運動，運動時間為t秒（0<t<6），過點D作DF⊥BC于點F．

（1）試用含t 的式子表示AE、AD的長；

（2）如圖①，在D、E運動的過程中，四邊形AEFD是平行四邊形，請說明理由；

（3）連接DE，當(dāng)t為何值時，△DEF為直角三角形？

（4）如圖②，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，試問當(dāng)t為何值時，四邊形 AEA′D為菱形？并判斷此時點A是否在BC上？請說明理由．

          圖①                                                   圖②                     

Answer 1

解：（1）AE=t     AD=12－2t         

           （2）∵ DF⊥BC，∠C=30°

                ∴ DF=CD=×2t = t

 ∵ AE =t

 ∴ DF= AE  

                ∵ ∠ABC=90°, DF⊥BC

                ∴ DF∥AE                  

∴ 四邊形AEFD是平行四邊形；        

 （3）①顯然 ∠DFE < 90°;   

               ②如圖（1），當(dāng)∠EDF = 90°時，四邊形EBFD為矩形，

                  此時 AE =AD    ∴   ∴               

 ③如圖（2），當(dāng)∠DEF = 90°時，此時∠ADE = 90°

                  ∴∠AED = 90°－∠A=30°

                  ∴AD =AE        ∴   

∴

               綜上：當(dāng)秒或秒時，⊿DEF為直角三角形；

      

 

（4）

               圖（3）

如圖（3），若四邊形AEA′D為菱形，則AE=AD

∴t=12－2t

∴t=4

∴當(dāng)t=4時，四邊形AEA′D為菱形

設(shè)EA′交BC于點G

在Rt△EBG中，∠BEG=180°－∠AEG=60°

∴GE=2BE

∵BE=AB－AE=6－4=2

∴GE=4=EA′

∴點G與點A′重合

∴點A在BC上