Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC．
①若∠A=90°，AB+CD=BC，則以AD為直徑的圓與BC相切；
②若∠A=90°，當(dāng)以AD為直徑的圓與BC相切，則以BC為直徑的圓也與AD相切；
③若以AD為直徑的圓與BC相切，則AB+CD=BC；
④若以AD為直徑的圓與BC相切，則以BC為直徑的圓與AD相切．
以上判斷正確的個數(shù)有

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：①作AD的中點E，作EG⊥BC于點G，過E作AB的平行線EF，則EF是梯形ABCD的中位線，然后證明△DCE≌△GCE，根據(jù)切線的判定定理即可判斷；
②若∠A=90°，當(dāng)以AD為直徑的圓與BC相切，設(shè)以AD為直徑的圓的圓心是E，則E是AD的中點，設(shè)圓與BC相切與點G，則連接EG，可以利用全等三角形的性質(zhì)證得AB+CD=BC，即可證明③，然后取BC的中點F，中位線EF就是以BC為直徑的圓的圓心到AD的垂線段，根據(jù)切線的判定定理即可證得；
④中位線EF⊥AD時，以BC為直徑的圓與AD相切．否則就不相切．
解答：解：①作AD的中點E，作EG⊥BC于點G，過E作AB的平行線EF，則EF是梯形ABCD的中位線，
∴EF=（AB+CD）=BC=CF，
∴∠CEF=∠ECF，
∵EF∥CD，
∴∠DCE=∠CEF，
∵在△DCE和△GCE中，
，
∴△DCE≌△GCE（AAS），
∴EG=DE=AD，則以AD為直徑的圓與BC相切．
故命題正確；
②若∠A=90°，當(dāng)以AD為直徑的圓與BC相切，設(shè)以AD為直徑的圓的圓心是E，則E是AD的中點，設(shè)圓與BC相切與點G，
則連接EG，則EG⊥BC，且EG=ED．
∵在Rt△DCE和Rt△GCE中，
，
∴Rt△DCE≌Rt△GCE（HL），
∴CG=CD，
同理，BG=AB，
∴AB+CD=BC，故③正確；
取BC的中點，連接EF，則EF是梯形ABCD的中位線，
∴EF=（AB+CD）=BC，
又∵若∠A=90°，則EF⊥AD，
∴以BC為直徑的圓也與AD相切．故②正確；
④若以AD為直徑的圓與BC相切，則以BC為直徑的圓與AD相切，根據(jù)③可以得到當(dāng)中位線EF是F到AD的垂線段時，以BC為直徑的圓與AD相切．否則就不相切．故錯誤．
故正確的是：①②③．故選C．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，梯形的中位線的性質(zhì)，正確作出輔助線是關(guān)鍵．