Question

如圖，△ABC的邊BC的垂直平分線DE交△BAC的外角平分線AD于D，E為垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求證：BF=AC+AF．

Answer 1

證明：過D作DN⊥AC，垂足為N，連接DB、DC，
則DN=DF（角平分線性質），DB=DC（線段垂直平分線性質），
又∵DF⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DFB=∠DNC=90°，
在Rt△DBF和Rt△DCN中
∵，
∴Rt△DBF≌Rt△DCN（HL）
∴BF=CN，
在Rt△DFA和Rt△DNA中
∵，
∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL）
∴AN=AF，
∴BF=AC+AN=AC+AF，
即BF=AF+AC．
分析：過D作DN⊥AC，垂足為N，連接DB、DC，推出DN=DF，DB=DC，根據HL證Rt△DBF≌Rt△DCN，推出BF=CN，根據HL證Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，線段的垂直平分線定理，角平分線性質等知識點，會添加適當的輔助線，會利用中垂線的性質找出全等的條件是解此題的關鍵．