Question

10．如圖，廣場上一個立體雕塑由兩部分組成，底座是一個正方體，正上方是一個球體，且正方體的高度和球的高度相等．當陽光與地面的夾角成60°時，整個雕塑在地面上的影子AB長2米，求這個雕塑的高度．（結(jié)果精確到百分位，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 先過D作DF⊥AB于F，過O作OG⊥AB于G，過O作DF的垂線，交DF于H，交⊙O于E，則AE為⊙O的切線，延長AE交BD于C，設(shè)⊙O的半徑為r，則OG=3r=HF=AE，OD=r，根據(jù)∠ACB=30°，∠DOE=30°，得到Rt△ODH中，DH=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$r，DF=$\frac{1}{2}$r+3r，進而得出CE=CD=AC-AE=2$\sqrt{3}$-3r，再根據(jù)AC∥DF，得出$\frac{BC}{BD}$=$\frac{AC}{FD}$，進而求得r≈1.06，據(jù)此可得這個雕塑的高度．

解答 解：如圖所示，設(shè)D為光線與⊙O的切點，過D作DF⊥AB于F，過O作OG⊥AB于G，
過O作DF的垂線，交DF于H，交⊙O于E，則AE為⊙O的切線，延長AE交BD于C，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OG=3r=HF=AE，OD=r，
∵∠ABD=60°，
∴∠ACB=30°，∠DOE=30°，
∴Rt△ODH中，DH=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$r，
∴DF=$\frac{1}{2}$r+3r，
又∵Rt△ABC中，AB=2，
∴AC=2$\sqrt{3}$，BC=4，
∴CE=CD=AC-AE=2$\sqrt{3}$-3r，
∵AC∥DF，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{AC}{FD}$，即$\frac{4}{4+2\sqrt{3}-3r}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{2}r+3r}$，
解得r≈1.06，
∴雕塑的高度為4r=4×1.06=4.24米．

點評 本題主要考查了平行投影，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，依據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)進行計算，依據(jù)平行線分線段成比例定理列式計算．解題時注意方程思想的運用．