Question

11．如圖，AC是⊙O的直徑，點(diǎn)B在⊙O上，∠ACB=30°，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，小于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB、BC于點(diǎn)M、N； ②分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于$\frac{1}{2}$MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)G；③連結(jié)BG交AC邊于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，求△ABE與△CDE的面積之比為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 連接AD．設(shè)AB=a，利用勾股定理求出AC、CD，由△EBA∽△ECD推出$\frac{{S}_{△EBA}}{{S}_{△ECD}}$=（$\frac{AB}{CD}$）²，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，連接AD．設(shè)AB=a，

∵AC是直徑，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ACB=30°，
∴AC=2AB=2a，
∵∠DBA=∠DBC，
∴AD=CD，
∵AD²+DC²=AC²，
∴AD=CD=$\sqrt{2}$a，
∵∠EAB=∠EDC，∠EBA=∠ECD，
∴△EBA∽△ECD，
∴$\frac{{S}_{△EBA}}{{S}_{△ECD}}$=（$\frac{AB}{CD}$）²=（$\frac{a}{\sqrt{2}a}$）²=$\frac{1}{2}$．

故答案為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本作圖、角平分線的性質(zhì)．圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形，屬于中考�？碱}型．