Question

6．等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，P為BC的中點，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點落在點P上，三角板繞P點旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖a，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB，AC于點E，F(xiàn)時，求證：△BPE∽△CFP；
（2）操作：將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時，三角板的兩邊分別交BA邊的延長線，AC邊于點E，F(xiàn)
①探究1，△BPE與△CFP還相似嗎？請說明理由；
②探究2，若BC=4$\sqrt{3}$，BE=6時，試求線段CF的長度；
③探究3，連結(jié)EF，△CPF與△PEF是否相似？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）找出△BPE與△CFP的對應(yīng)角，其中∠BPE+∠CPF=150°，∠CPF+∠CFP=150°，得出∠BPE=∠CFP，從而解決問題；
（2）①小題同（1）可證；
②小題可通過對應(yīng)邊成比例代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果；
③由①證得△BPE∽△CFP，得到 $\frac{CP}{BE}=\frac{PF}{PE}$，等量代換得到$\frac{BP}{PF}$=$\frac{BE}{PE}$，由于∠EBP=∠EPF，即可證得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=150°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∠EPF=30°，
∴∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP，

（2）①△BPE與△PFE相似．
理由如下：
在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=150°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∠EPF=30°，
∴∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP；
②由①知△BPE∽△CFP，
∴$\frac{PB}{CF}=\frac{BE}{PC}$，
∵P為BC的中點，
∴BP=PC=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，
∵BE=6，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{CF}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}}$，
∴CF=2；
③由①證得△BPE∽△CFP，
∴$\frac{CP}{BE}=\frac{PF}{PE}$，
∵CP=BP，
∴$\frac{BP}{PF}$=$\frac{BE}{PE}$，
又∵∠EBP=∠EPF，
∴△BPE∽△PFE．

點評 此題考查相似的綜合題．關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解題，它以每位學(xué)生都有的30°三角板在圖形上的運動為背景，既考查了學(xué)生圖形旋轉(zhuǎn)變換的思想，靜中思動，動中求靜的思維方法，又考查了學(xué)生動手實踐、自主探究的能力．