Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B為軸上兩點(diǎn)，C、D為軸上的兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A、C、B的拋物線的一部分C₁與經(jīng)過點(diǎn)A、D、B的拋物線的一部分C₂組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)M是拋物線C₂：（＜0）的頂點(diǎn)．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)△BDM為直角三角形時(shí)，求的值．

           

Answer 1

(1)解：令=0，則   

∵＜0，∴     

解得：，

 ∴A（，0）、B（3，0） 

（2）存在．                                                              

 ∵設(shè)拋物線C₁的表達(dá)式為（），把C（0，）代入可得

    

 ∴Ｃ₁： 

設(shè)P（，）

∴ S_△PBC = S_△POC + S_△BOP –S_△BOC =             

∵<0, ∴當(dāng)時(shí),S_△PBC最大值為．

（3）由C₂可知： B（3，0），D（0，），M（1，）

BD²=， BM²=，DM²=，                

∵∠MBD<90°, ∴討論∠BMD=90°和∠BDM=90°兩種情況．

當(dāng)∠BMD=90°時(shí)，BM²+ DM²= BD² ，＋=

解得：,  (舍去)

當(dāng)∠BDM=90°時(shí)，BD²+ DM²= BM² ，＋=

解得：， (舍去)  

綜上 ，時(shí)，△BDM為直角三角形．