Question

5．如圖，正三角形ABC的邊長為3+$\sqrt{3}$，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和EFPH，使得D、E、F在邊AB上，點(diǎn)P、N分別在邊CB、CA上，這兩個正方形面積和的最小值是$\frac{9}{2}$，最大值是99-54$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長分別為m、n，它們的面積和為S，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠A=∠B=60°，AB=3+$\sqrt{3}$，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$n，則$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+m+n+$\frac{\sqrt{3}}{3}$n=3+$\sqrt{3}$，所以n=3-m，S=m²+n²=m²+（3-m）²=2（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{2}$，接著確定m的取值范圍為6$\sqrt{3}$-9≤m≤3$\sqrt{3}$-3，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最小和最大值．

解答 解：設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長分別為m、n，它們的面積和為S，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠B=60°，AB=3+$\sqrt{3}$，
在Rt△ADN中，AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m，
在Rt△BPF中，BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$n，
∵AD+DE+EF+BF=AB，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+m+n+$\frac{\sqrt{3}}{3}$n=3+$\sqrt{3}$，
∴m+n=3，
∴n=3-m，
∴S=m²+n²=m²+（3-m）²=2（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{2}$
當(dāng)點(diǎn)M落在BC上，則正方形DEMN的邊長最小，正方形EFPH的邊長最大，如圖，
在在Rt△ADN中，AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DN，AN=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DN，
∴DN+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$DN=3+$\sqrt{3}$，解得DN=3$\sqrt{3}$-3，
在Rt△BPF中，BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$（3$\sqrt{3}$-3）+3$\sqrt{3}$-3+EF+$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF=3+$\sqrt{3}$，解得PF=6$\sqrt{3}$-9，
∴6$\sqrt{3}$-9≤m≤3$\sqrt{3}$-3，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，S最小，S的最小值為$\frac{9}{2}$；當(dāng)m=3$\sqrt{3}$-3時，S最大，S的最大值=2（3$\sqrt{3}$-3-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{2}$=99-54$\sqrt{3}$．
故答案為$\frac{9}{2}$；99-54$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；利用相似比計(jì)算相應(yīng)線段的長．也考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)．