Question

15．如圖，P為∠AOB內(nèi)一定點，M、N分別是射線OA、OB上一點，當(dāng)△PMN周長最小時，∠MPN=80°，則∠AOB=50°．

Answer 1

分析 作P關(guān)于OA，OB的對稱點P₁，P₂．連接OP₁，OP₂．則當(dāng)M，N是P₁P₂與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得：∠OP₁M=∠OPM=50°，OP₁=OP₂=OP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．

解答 解：作P關(guān)于OA，OB的對稱點P₁，P₂．連接OP₁，OP₂．則當(dāng)M，N是P₁P₂與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，連接P₁O、P₂O，
∵PP₁關(guān)于OA對稱，∠MPN=80°
∴∠P₁OP=2∠MOP，OP₁=OP，P₁M=PM，∠OP₁M=∠OPM，
同理，∠P₂OP=2∠NOP，OP=OP₂，
∴∠P₁OP₂=∠P₁OP+∠P₂OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP₁=OP₂=OP，
∴△P₁OP₂是等腰三角形．
∴∠OP₂N=∠OP₁M，
∴∠P₁OP₂=180°-80°=100°，
∴∠AOB=50°，
故答案為：50°

點評 本題考查了對稱的性質(zhì)，正確作出圖形，證得△P₁OP₂是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．