Question

9．如圖，點(diǎn)B、A、E在同一條直線上，△ABC和△ADE是這條直線上方的兩個(gè)正三角形，連結(jié)BD、CE分別交AC、AD于點(diǎn)F、G，連結(jié)FG．求證：△AFG是正三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠EAD═60°，AB=AC，AD=AE，推出∠BAD=∠CAE，證得△AEC≌△DBC（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BDA=∠AEG推出△AFD≌△AEG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=CF，由∠DCE=60°，根據(jù)等邊三角形的判定定理即可得到結(jié)論．

解答 證明：∵△ABC和△ADE是這條直線上方的兩個(gè)正三角形，
∴∠BAC=∠EAD═60°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
∵B，A，E在同一直線上，
∴∠BAE=180°，
∴∠CAD=60°．
∴∠BAC=∠CAD．
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠BDA=∠AEG，
在△AFD和△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠GAE}\\{AD=AE}\\{∠ADF=∠AEG}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△AEG（ASA），
∴CG=CF；
∵∠FAG=60°，
∴△FAG是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同時(shí)還要結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，創(chuàng)造條件證明三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．