Question

如圖，正方形ABCD中，AB=6，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG、CF．下列結論：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S_△FGC=3．其中正確結論的個數是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：根據翻折變換的性質和正方形的性質可證Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根據勾股定理可證BG=GC；通過證明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行線的判定可得AG∥CF；由于S_△FGC=S_△GCE-S_△FEC，求得面積比較即可．
解答：解：①正確．因為AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正確．因為：EF=DE=CD=2，設BG=FG=x，則CG=6-x．在直角△ECG中，根據勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，解得x=3．所以BG=3=6-3=GC；
③正確．∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
④錯誤．
∵S_△GCE=GC•CE=×3×4=6
∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，
∴S_△GFC：S_△FCE=3：2，
∴S_△GFC=×6=≠3．
故不正確．
故選C．
點評：本題綜合性較強，考查了翻折變換的性質和正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計算，有一定的難度．