Question

【題目】在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a＝3，b和c是關(guān)于x的方程x2+mx+2-m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

（1）求△ABC的周長(zhǎng)．

（2）求△ABC的三邊均為整數(shù)時(shí)的外接圓半徑．

Answer 1

【答案】（1）△ABC的周長(zhǎng)為7或7；（2）△ABC的三邊均為整數(shù)時(shí)的外接圓半徑為．

【解析】

（1）此題分兩種情況考慮：一是b和c中有一個(gè)和a相等，是3；二是b=c，即根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由△=0求解．最后注意看是否符合三角形的三邊關(guān)系．

（2）根據(jù)（1）中求解的結(jié)果，只需求得2，3，3的三角形的外接圓的半徑，根據(jù)等腰三角形的三線合一和勾股定理求解．

（1）若b、c中有一邊等于3，

則方程可化為，

解得m=-；

原方程可化為x2-=0，

解得x1=3，x2=，

所以三角形的周長(zhǎng)為3+3+=；

若b=c，則△=m2-4()=0，

解得m=﹣4或2，

當(dāng)m=﹣4時(shí)，方程為x2﹣4x+4=0，得x1=x2=2，

所以三角形的周長(zhǎng)為2+2+3=7；

當(dāng)m=2時(shí)，方程為x2+2x+1=0，得x1=x2=﹣1；（不合題意，舍去）

綜上可知△ABC的周長(zhǎng)為7或7．

（2）作△ABC的外接圓⊙O，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D、交BC于E，連接BO，

則有AE⊥BC．

∵△ABC的三邊均為整數(shù)，

∴AB=AC=2，BC=3，

BE=BC=．AE==，

設(shè)AO=R，在Rt△BOE中，R2=（）2+（﹣R）2，

∴R=，

∴△ABC的三邊均為整數(shù)時(shí)的外接圓半徑為．