Question

16．已知：如圖，△ABC中的頂點(diǎn)A、C分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸上，且∠ACB=90°，AC=2，BC=1，當(dāng)點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)朝x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)時(shí)點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)OB．
（1）點(diǎn)A在原點(diǎn)時(shí)，求OB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)OA=OC時(shí)，求OB的長(zhǎng)；
（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，OB是否存在最大值？若存在，請(qǐng)你求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意AB的長(zhǎng)就是OB的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)即可；
（2）作BD⊥y軸于D，根據(jù)勾股定理可得OC=$\sqrt{2}$，DC=DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最后根據(jù)勾股定理即可求得OB；
（3）Rt△AOC的外接圓圓心是AC中點(diǎn)，設(shè)AC中點(diǎn)為D，根據(jù)三角形三邊關(guān)系有OB≤OD+BD=1+$\sqrt{2}$，即O、D、B三點(diǎn)共線時(shí)OB取得最大值．

解答 解：（1）點(diǎn)A在原點(diǎn)時(shí)，OB=AB，
∵∠ACB=90°，AC=2，BC=1，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
∴OB=$\sqrt{5}$；
（2）當(dāng)OA=OC時(shí)，如圖1，作BD⊥y軸于D，
∵AC=2，BC=1，
∵OA²+OC²=AC²，
∴OA=OC=$\sqrt{2}$，
∵OA=OC，
∴∠ACO=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=45°，
∴∠BCD=∠CBD，
∴DB=DC，
∵DC²+DB²=BC²，
∴DB=DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OD=OC+DC=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴OB=$\sqrt{O{D}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{（{\frac{3\sqrt{2}}{2}）}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$；
（3）如圖2，作AC的中點(diǎn)D，連接OD、BD，
∵OB≤OD+BD，
∴當(dāng)O、D、B三點(diǎn)共線時(shí)OB取得最大值，
∵BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，OD=AD=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴點(diǎn)B到原點(diǎn)O的最大距離為1+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，以及勾股定理的應(yīng)用，本題的難度較大，理解D到O的距離不變是解決本題的關(guān)鍵．