Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-1），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），O是原點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)此拋物線與x軸的交點(diǎn)為A，B（A在B的左邊），問(wèn)在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以O(shè)，B，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）可設(shè)y=a（x-4）²-1，
∵交y軸于點(diǎn)C（0，3），
∴3=16a-1，
∴a=，
∴拋物線的解析式為y=（x-4）²-1，
即∴y=x²-2x+3．

（2）存在．
當(dāng)y=0，則（x-4）²-1=0，
∴x₁=2，x₂=6，
∴A（2，0），B（6，0），
設(shè)P（0，m），則OP=|m|在△AOC與△BOP中，
①若∠OCA=∠OBP，則△BOP∽△COA，
∴=，OP==4，
∴m=±4；
②若∠OCA=∠OPB，則△BOP∽△AOC，
∴=，OP==9，
∴m=±9，
∴存在符合題意的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（0，4）、（0，-4）、（0，9）或（0，-9）．
分析：（1）因?yàn)閽佄锞�的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-1），所以可設(shè)其頂點(diǎn)式，再把點(diǎn)C（0，3）代入即可求出未知數(shù)的值從而求出其解析式．
（2）先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等的情況，列出兩組比例式解答．
點(diǎn)評(píng)：此題不僅考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，還是一道開(kāi)放性題目．
要求同學(xué)們通過(guò)觀察進(jìn)行猜想，假設(shè)結(jié)論成立，并進(jìn)行計(jì)算，驗(yàn)證猜想的正確性．