Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于E．
（1）求證：點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；
（2）當(dāng)AC=BC時(shí)，一點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形？試說(shuō)明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖，先判斷BC為⊙O的切線，再利用切線長(zhǎng)定理得到ED=EC，則∠1=∠2，接著證明∠3=∠B得到ED=EB，從而得到EB=EC；
（2）當(dāng)AC=BC時(shí)，利用DE=CE=$\frac{1}{2}$BC，OC=$\frac{1}{2}$AC得到OD=OC=CE=DE，加上∠OCE=90°，于是可判定四邊形OCED為正方形．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵∠ACB=90°，
∴BC為⊙O的切線，
∵DE為切線，
∴ED=EC，
∴∠1=∠2，
∵AC為直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠B+∠1=90°，
∴∠3=∠B，
∴ED=EB，
∴EB=EC，
即點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；

（2）解：當(dāng)AC=BC時(shí)，
DE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
而OC=$\frac{1}{2}$AC，
∴OD=OC=CE=DE，
而∠OCE=90°，
∴四邊形OCED為正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；靈活應(yīng)用切線長(zhǎng)定理．也考查了正方形的判定．