Question

如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠BCD=120°，BC=CD．
（1）求證：CD∥AB；
（2）求S_△ACD：S_△ABC的值．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理得∠ACB=90°，則∠ACD=30°，利用圓內角四邊形的性質得∠DAB=60°，由于BC=CD，所以弧BC=弧CD，則∠DAC=∠BAC=30°，
于是可計算出∠B=60°，則∠B+∠BCD=180°，根據平行線的判定即可得到CD∥AB；
（2）連結OA、OB，根據圓周角定理得∠DOC=2∠DAC=60°，則△ODC為等邊三角形，易得△OBC為等邊三角形，再利用AB∥CD得S_△ADC=S_△ODC，
而S_△OBC=S_△ODC，S_△ABC=2S_△OBC，即可計算出S_△ACD：S_△ABC的值．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BCD=120°，
∴∠ACD=30°，∠DAB=180°-∠BCD=60°，
∵BC=CD，
∴弧BC=弧CD，
∴∠DAC=∠BAC=

1

2

×60°=30°，
∴∠B=90°-∠BAC=60°，
∴∠B+∠BCD=180°，
∴CD∥AB；

（2）連結OA、OB，如圖，
∵∠DOC=2∠DAC=60°，
∴△ODC為等邊三角形，
而∠B=60°，
∴△OBC為等邊三角形，
∵AB∥CD，
∴S_△ADC=S_△ODC，
而S_△OBC=S_△ODC，S_△ABC=2S_△OBC，
∴S_△ACD：S_△ABC=1：2．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等邊三角形的判定與性質以及圓內接四邊形的性質．