Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取點(diǎn)D，又在AC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使CE＝BD，連結(jié)DE，交BC于點(diǎn)G．求證：DG＝GE

Answer 1

答案：
解析：

分析　欲證明DG＝GE，DG所在的△BDG與GE所在的△CCE根本無(wú)法全等，此時(shí)應(yīng)考慮與△BDG或△CEG全等的三角形，可以引輔助線DF∥CE或EM∠AB構(gòu)成全等三角形． 　　證法一　如答圖(1)所示，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于點(diǎn)F．∴∠DFB＝∠ACB．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．∴∠B＝∠DFB．∴DF＝DB．∵BD＝CE，∴DF＝CE．∵DF∥CE， 　　∴∠DFG＝∠ECG．在△DFG與△ECG中， 　　∵∠DGF＝∠EGC，∠DFG＝∠ECG，DF＝CE， 　　∴△DFG≌△ECG(AAS)．∴DG：EG． 　　證法二　如答圖(2)，過(guò)E作EM∥AB交BC的延長(zhǎng)線于肘∴∠M＝∠B． 　　∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．又∵∠MCE＝∠ACB， 　　∴∠M＝∠MCE．∴EM＝EC． 　　∵EC＝BD，∴EM＝BD．又∵∠BGD＝／MGE，∴△BGD＝≌△MGE．∴DG＝EG． 　　證法三　如答圖(3)，過(guò)D、E分別作DK⊥BC于K，EH⊥BC于H．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB． 　　又∵∠ACB＝∠HCE，∴∠B＝∠HCE∵BD＝EC，∴Rt△BDK≌Rt△CEH∴DK＝EH．又∵∠DGK＝∠EGH，∴Rt△DKG≌Rt△EHG．∴DG＝EG． 　　 　　點(diǎn)撥　當(dāng)有等腰三角形時(shí)，常過(guò)一點(diǎn)作腰的平行線，從而得到一個(gè)新的等腰三角形，或者得到一部分角相等，這樣可以為證題創(chuàng)造更多有利條件．