Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A是動點且縱坐標為4，點B是線段OA上的一個動點，過點B作直線MN平行于x軸，設MN分別交射線OA與x軸所成的兩個角的平分線于點E、F．
（1）求證：EB=BF；
（2）當

OB

OA

為何值時，四邊形AEOF是矩形？證明你的結(jié)論；
（3）是否存在點A、B，使四邊形AEOF為正方形？若存在，求點A與B的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及等角對等邊即可得出BO=BF，BO=BE，進而求出答案；
（2）根據(jù)當

OB

OA

=

1

2

時，首先求出四邊形AEOF是平行四邊形，進而得出利用角平分線的性質(zhì)得出∠EOF=90°，即可得出四邊形AEOF是矩形；
（3）根據(jù)當A點在y軸時，即A點坐標為（0，4）時，有OA⊥EF，此時，取OA的中點B（0，2），由（2）知四邊形AEOF是矩形，進而即可得出四邊形AEOF為正方形．

解答：（1）證明：如圖所示；
∵OF是∠AOX的角平分線，
∴∠1=∠2，
∵MN∥x軸，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴BO=BF，
同理可證BO=BE，
∴EB=BF，

（2）解：當

OB

OA

=

1

2

，四邊形AEOF是矩形，
∵

OB

OA

=

1

2

，
∴OB=AB，
又∵BE=BF，
∴四邊形AEOF是平行四邊形，
∵OE、OF是角平分線，
∴∠EOF=90°，
∴四邊形AEOF是矩形；

（3）解：存在點A、B使四邊形AEOF為正方形，如圖所示，
∵MN∥x軸，
∴當A點在y軸時，即A點坐標為（0，4）時，有OA⊥EF，此時，取OA的中點B（0，2），由（2）知四邊形AEOF是矩形，
∴四邊形AEOF為正方形，
∴存在A（0，4），B（0，2），使四邊形AEOF為正方形．

點評：此題主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練地應用矩形判定與正方形的判定是解決問題的關鍵．