Question

5．如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA=10，OA與⊙O相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．若⊙O上存在點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則半徑r的取值范圍是：2$\sqrt{5}$≤r＜10．

Answer 1

分析 首先證明AB=AC，再根據(jù)已知得出Q在AC的垂直平分線上，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范圍即可．

解答 解：連接OB．如圖1，
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC，
作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，如圖2，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{10}^{2}-{r}^{2}}$，
又∵圓O與直線MN有交點，
∴OE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{10}^{2}-{r}^{2}}$≤r，
∴$\sqrt{{10}^{2}-{r}^{2}}$≤2r，
即：100-r²≤4r²，
∴r²≥20，
∴r≥2$\sqrt{5}$．
∵OA=10，直線l與⊙O相離，
∴r＜10，
∴2$\sqrt{5}$≤r＜10．
故答案為：2$\sqrt{5}$≤r＜10．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系等知識點的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生運用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力．本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．