Question

如圖，已知拋物線y=ax²+4ax+t（a＞0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求此拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，你能判斷四邊形ABCP是什么四邊形嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（3）連結(jié)AC，BP，若AC⊥BP，試求此拋物線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用配方法求出拋物線對(duì)稱軸即可，再利用二次函數(shù)對(duì)稱性得出A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）首先得出CP=AB，再利用平行四邊形的判定方法一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出即可；
（3）利用菱形的判定與性質(zhì)得出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．

解答：解：（1）∵y=ax²+4ax+t=a（x+2）²+t-2，
∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-2，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，0），
∵

-1+x

2

=-2，∴x=-3，
∴A的坐標(biāo)（-3，0）；

（2）四邊形ABCP是平行四邊形．
理由：
∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-2，∴CP=2．
又∵AB=2，∴CP=AB．
又∵CP∥AB，∴四邊形ABCP是平行四邊形；

（3）∵AC⊥BP，∴平行四邊形ABCP是菱形．
∴BC=AB=2．
又∵OB=1，∴OC=

3

．∴C（0，

3

）．
將B（-1，0），C（0，

3

）代入y=ax²+4ax+t，得：

a-4a+t=0 t= 3

，
解得：

a= 3 3 t= 3

，
∴此拋物線的解析式為：y=

3

3

x²+

4 3

3

x+

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及平行四邊形的判定與性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)，得出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．