Question

如圖，直線y=-x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、C和點B（-1，0）。

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點為M，求四邊形AOCM的面積；
（3）有兩動點D、E同時從點O出發(fā)，其中點D以每秒個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點E以每秒4個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當D、E兩點相遇時，它們都停止運動，設(shè)D、E同時從點O出發(fā)t秒時，△ODE的面積為S。
①請問D、E兩點在運動過程中，是否存在DE∥OC，若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
②請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
③設(shè)S₀是②中函數(shù)S的最大值，那么S₀=（    ）。

Answer 1

解：令x=0，則y=4，令y=0，則x=3， ∴A（3，0），C（0，4）， ∵二次函數(shù)的圖象過點C（0，4）， ∴可設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=ax2+bx+4， 又∵該函數(shù)圖象過點A（3，0），B（-1，0）， ∴，解之，得a=-，b=， ∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為； （2）∵=， ∴頂點M的坐標為（1，）， 過點M作MF⊥x軸于F， ∴S四邊形AOCM=S△AFM+S梯形FOCM =， ∴四邊形AOCM的面積為10； （3）①不存在DE∥OC， ∵若DE∥OC，則點D，E應(yīng)分別在線段OA，CA上， 此時1＜t＜2， 在Rt△AOC中，AC=5， 設(shè)點E的坐標為（x1，y1）， ∴， ∴， ∵DE∥OC， ∴， ∴t=， ∵t=＞2，不滿足1＜t＜2， ∴不存在DE∥OC； ②根據(jù)題意得D，E兩點相遇的時間為（秒）， 現(xiàn)分情況討論如下： （ⅰ）當0＜t≤1時，； （ⅱ）當1＜t≤2時，設(shè)點E的坐標為（x2，y2）， ∴， ∴， ∴； （ⅲ）當2＜t＜時，設(shè)點E的坐標為（x3，y3）， 類似ⅱ可得，設(shè)點D的坐標為（x4，y4）， ∴， ∴， ∴S=S△AOE-S△AOD == ③。