Question

16．已知點(diǎn)A（0，-a），B（b，0），如圖1，有理數(shù)a，b滿足a²+b²+8a-8b+32=0．
（1）若點(diǎn)C（0，1），點(diǎn)D是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，連接DC交AB于點(diǎn)E．如圖1，已知點(diǎn)E為線段DC中點(diǎn)，△ADC的面積=3，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，點(diǎn)G（2，0），連接AG，作∠BGH=∠AGO，點(diǎn)H為線段AB上一點(diǎn)，連接OH，試探究線段AG，GH，OH之間的關(guān)系．并正明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先求得A、B的坐標(biāo)，作DH⊥y軸于H，作EF⊥y軸于F，根據(jù)三角形的面積求得DH=2，然后根據(jù)三角形中位線定理求得EF=1，由A、B的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，進(jìn)而求得E的縱坐標(biāo)，得出CF=2，即可求得FH=FC=2，得出D的縱坐標(biāo)；
（2）作HM⊥OB于M，由∠BGH=∠AGO，根據(jù)直角三角函數(shù)得出$\frac{OA}{OG}$=$\frac{HM}{GM}$=2，設(shè)GM=m，則HM=2m，
進(jìn)而得出2m=2-m，解得m=$\frac{2}{3}$，得出H的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理分別求得AG、GH、OH的值，即可求得AG=GH+OH．

解答 解：∵有理數(shù)a，b滿足a²+b²+8a-8b+32=0．
∴（a+4）²+（b-4）²=0，
∴a=-4，b=4，
∴A（0，4），B（4，0），
∴OA=4，OB=4，
（1）作DH⊥y軸于H
∵點(diǎn)C（0，1），
∴OC=1，
∴AC=3，
∵點(diǎn)E為線段DC中點(diǎn)，△ADC的面積=3，
∴$\frac{1}{2}$AC•DH=3，
∴DH=2，
作EF⊥y軸于F，
∴EF∥DH，
∵點(diǎn)E為線段DC中點(diǎn)，
∴EF=1，
由A（0，4），B（4，0）的直線AB為y=-x+4，
∴y_E=3，
∴E（1，3），
∴OF=3，
∴EC=2，
∴HF=2，
∴OH=5
∴D（2，5）；
（2）AG=GH+OH；
作HM⊥OB于M，
∵∠BGH=∠AGO，
∴$\frac{OA}{OG}$=$\frac{HM}{GM}$，
∵OA=4，OG=2，
∴$\frac{HM}{GM}$=2，
設(shè)GM=m，則HM=2m，
∵OA=OB=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴△HMB是等腰直角三角形，
∴HM=BM=2-m，
∴2m=2-m，解得m=$\frac{2}{3}$，
∴H（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∵A（0，4），G（2，0），
∴AG=2$\sqrt{5}$，GH=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，OH=$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$，
∴AG=GH+OH．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的中位線定理，直角三角函數(shù)，勾股定理的應(yīng)用以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)建直角三角形，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．