Question

10．已知，如圖長(zhǎng)方形ABCD中，AB=a，AD=b，且a、b滿足b=$\sqrt{a-3}+\sqrt{6-2a}$+9，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，
（1）求a，b的值；
（2）求△ABE的面積；
（3）求折痕為EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次根式有意義的條件即可解決問題．
（2）設(shè)ED=BE=x，在RT△ABE中利用勾股定理求出x，即可解決問題．
（3）連接BD交EF于O，只要證明EF=2EO，在RT△EDO中利用勾股定理即可求出EO．

解答 解：（1）∵b=$\sqrt{a-3}+\sqrt{6-2a}$+9，
∴a-3≥0，6-2a≥0，
∴a=3，b=9．
（2）設(shè)ED=EB=x，則AE=9-x，
∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，
∴∠A=90°
在RT△ABE中，∵AB²+AE²=BE²，
∴3²+（9-x）²=x²，
∴x=5，
∴AE=4，BE=ED=5，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$•AB•AE=$\frac{1}{2}$×3×4=6．
（3）連接BD交EF于O，
∵BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，
∴BO=OD=$\frac{3\sqrt{13}}{2}$，
在RT△EOD中，EO=$\sqrt{E{D}^{2}-D{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∵DA∥CB，
∴$\frac{EO}{OF}=\frac{DO}{BO}$=1，
∴EO=OF，
∴EF=2EO=$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是利用翻折不變性，設(shè)未知數(shù)利用勾股定理列出方程解決，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考�？碱}型．