Question

10．制作一種產(chǎn)品，需先將材料加熱達(dá)到60℃后，再進(jìn)行操作．設(shè)該材料溫度為y（℃），從加熱開始計(jì)算的時(shí)間為x（分鐘）．據(jù)了解，設(shè)該材料加熱時(shí)，溫度y與時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱進(jìn)行操作時(shí)，溫度y與時(shí)間x成反比例關(guān)系（如圖）．已知該材料在操作加工前的溫度為15℃，加熱5分鐘后溫度達(dá)到60℃．
（1）分別求出將材料加熱和停止加熱進(jìn)行操作時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料的溫度低于15℃時(shí)，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了多少時(shí)間？
（3）該種材料溫度維持在40℃以上（包括40℃）的時(shí)間有多長？

Answer 1

分析 （1）分成0≤x≤5和x＞5兩種情況，利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）在當(dāng)x＞5時(shí)的函數(shù)解析式中，求得y=15時(shí)對應(yīng)的自變量x的取值即可；
（3）在兩個(gè)函數(shù)解析式中求得y=40時(shí)對應(yīng)的自變量的值，求差即可．

解答 解：（1）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，
設(shè)函數(shù)的解析式是y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=15}\\{5k+b=60}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=15}\\{k=9}\end{array}\right.$
則函數(shù)的解析式是：y=9x+15；
$當(dāng)x＞5時(shí)，y=\frac{300}{x}$；
（2）把y=15代入$y=\frac{300}{x}$，得$15=\frac{300}{x}$，x=20；
經(jīng)檢驗(yàn)：x=20是原方程的解．
則當(dāng)材料的溫度低于15℃時(shí)，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了20分鐘；
（3）把y=40代入y=9x+15得x=$\frac{25}{9}$；把y=40代入$y=\frac{300}{x}$得x=7.5，
所以材料溫度維持在40℃以上（包括40℃）的時(shí)間為7.5-$\frac{25}{9}$=$\frac{85}{18}$分鐘．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個(gè)變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式．