Question

已知直線AB：y=-

1

2

x+3與拋物線y=

1

2

x²交于A，B兩點(diǎn)，在直線AB下方的拋物線上求點(diǎn)P，使△ABP的面積等于5．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：可聯(lián)立兩解析式可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作x軸的垂線，分別交x軸于點(diǎn)C、D，過(guò)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，可分別表示出梯形ABDC、梯形BDEP和梯形APEC的面積，可表示出△ABP的面積，得到方程可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：聯(lián)立直線AB和拋物線解析式可得

y=- 1 2 x+3 y= 1 2 x2

，
解得

x=2 y=2

或

x=-3 y= 9 2

，
則A（-3，

9

2

），B（2，2），
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，

1

2

x²），
分別過(guò)點(diǎn)A、B、P作x軸的垂直，垂足分別為C、D、E，如圖，

∴AC=

9

2

，PE=

1

2

x²，BD=2，DE=2-x，CE=x+3，CD=5，
∴S_梯形ABDC=

1

2

（BD+AC）CD=

1

2

×（2+

9

2

）×5=

65

4

，
S_梯形BDEP=

1

2

（BD+PE）DE=

1

2

（2+

1

2

x²）（2-x），
S_梯形ACEP=

1

2

（PE+AC）CE=

1

2

（

1

2

x²+

9

2

）（x+3），
∵S_△ABP=S_梯形ABDC-S_梯形BDEP-S_梯形ACEP，
∴

65

4

-

1

2

（2+

1

2

x²）（2-x）-

1

2

（

1

2

x²+

9

2

）（x+3）=5，
整理可得x²+x-2=0，解得x=-2或x=1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2）或（1，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線與直線的交點(diǎn)，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示出△ABP的面積是解題的關(guān)鍵．